$\triangle ABC$ において、$AB = 10$, $BC = 6$, $\angle B = 120^{\circ}$ のとき、$\triangle ABC$ の面積、$AC$ の長さ、および $\triangle ABC$ の内接円の半径を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$AB = 10$, $BC = 6$, $\angle B = 120^{\circ}$ のとき、$\triangle ABC$ の面積、$AC$ の長さ、および $\triangle ABC$ の内接円の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABC$ の面積を求める。

面積 $S$ は、2辺とその間の角のサインを用いて、

$S = \frac{1}{2} \times AB \times BC \times \sin{\angle B}$

$\angle B = 120^{\circ}$ なので $\sin{120^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、

$S = \frac{1}{2} \times 10 \times 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}$

(2) $AC$ の長さを求める。

余弦定理より、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \times AB \times BC \times \cos{\angle B}$

$\angle B = 120^{\circ}$ なので $\cos{120^{\circ}} = -\frac{1}{2}$

$AC^2 = 10^2 + 6^2 - 2 \times 10 \times 6 \times (-\frac{1}{2}) = 100 + 36 + 60 = 196$

$AC = \sqrt{196} = 14$

(3) $\triangle ABC$ の内接円の半径 $r$ を求める。

$\triangle ABC$ の面積 $S$ は、内接円の半径 $r$ と、3辺の長さ $a, b, c$ を用いて、

$S = \frac{1}{2}r(a+b+c)$

で表される。この問題では、$a=BC=6$, $b=AC=14$, $c=AB=10$ であり、$S = 15\sqrt{3}$ であるから、

$15\sqrt{3} = \frac{1}{2}r(6+14+10) = \frac{1}{2}r(30) = 15r$

したがって、

$r = \frac{15\sqrt{3}}{15} = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$\triangle ABC$ の面積は $15\sqrt{3}$

$AC = 14$

内接円の半径は $\sqrt{3}$