与えられた2つの変量 $x$ と $y$ のデータについて、それぞれの平均値、分散、共分散、相関係数を計算し、$x$ と $y$ の間にどのような相関があるかを判断する問題です。

1. 問題の内容

与えられた2つの変量 $x$ と $y$ のデータについて、それぞれの平均値、分散、共分散、相関係数を計算し、$x$ と $y$ の間にどのような相関があるかを判断する問題です。

2. 解き方の手順

(1) $x$ の平均値の計算:

$x$ のデータは 6, 5, 4, 3, 7 なので、

$x$ の平均 $\bar{x} = \frac{6 + 5 + 4 + 3 + 7}{5} = \frac{25}{5} = 5$

(2) $x$ の分散の計算:

各データと平均の差の二乗を計算し、その平均を取ります。

$(6-5)^2 = 1$

$(5-5)^2 = 0$

$(4-5)^2 = 1$

$(3-5)^2 = 4$

$(7-5)^2 = 4$

$x$ の分散 $s_x^2 = \frac{1 + 0 + 1 + 4 + 4}{5} = \frac{10}{5} = 2$

(3) $y$ の平均値の計算:

$y$ のデータは 3, 9, 7, 5, 1 なので、

$y$ の平均 $\bar{y} = \frac{3 + 9 + 7 + 5 + 1}{5} = \frac{25}{5} = 5$

(4) $y$ の分散の計算:

各データと平均の差の二乗を計算し、その平均を取ります。

$(3-5)^2 = 4$

$(9-5)^2 = 16$

$(7-5)^2 = 4$

$(5-5)^2 = 0$

$(1-5)^2 = 16$

$y$ の分散 $s_y^2 = \frac{4 + 16 + 4 + 0 + 16}{5} = \frac{40}{5} = 8$

(5) $x$ と $y$ の共分散の計算:

各データの $x$ と $y$ の偏差の積を計算し、その平均を取ります。

$(6-5)(3-5) = 1 \times (-2) = -2$

$(5-5)(9-5) = 0 \times 4 = 0$

$(4-5)(7-5) = -1 \times 2 = -2$

$(3-5)(5-5) = -2 \times 0 = 0$

$(7-5)(1-5) = 2 \times (-4) = -8$

$x$ と $y$ の共分散 $s_{xy} = \frac{-2 + 0 - 2 + 0 - 8}{5} = \frac{-12}{5} = -2.4$

(6) 相関係数の計算:

相関係数は、共分散を $x$ と $y$ の標準偏差の積で割ったものです。

$x$ の標準偏差 $s_x = \sqrt{2}$

$y$ の標準偏差 $s_y = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

相関係数 $r = \frac{s_{xy}}{s_x s_y} = \frac{-2.4}{\sqrt{2} \times 2\sqrt{2}} = \frac{-2.4}{4} = -0.6$

(7) 相関の種類の判断:

相関係数 $r$ は -0.6 であり、負の値なので、$x$ と $y$ の間には負の相関があると考えられます。

3. 最終的な答え

$x$ の平均値: 5

$x$ の分散: 2

$y$ の平均値: 5

$y$ の分散: 8

$x$ と $y$ の共分散: -2.4

相関係数: -0.6

$x$ と $y$ の間には負の相関がある。