$\sqrt{n^2+24}$ が自然数となるような自然数 $n$ をすべて求める問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{n^2+24}$ が自然数となるような自然数 $n$ をすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sqrt{n^2+24} = m$ （$m$ は自然数）とおきます。

両辺を2乗すると、

$n^2+24 = m^2$

これを変形すると、

$m^2-n^2 = 24$

$(m+n)(m-n) = 24$

$m$ と $n$ は自然数なので、$m+n > 0$ かつ $m-n$ は整数です。また、$m+n > m-n$ が成り立ちます。

$m+n$ と $m-n$ はともに整数で、$24$ の約数である必要があります。

また、$m+n$ と $m-n$ の和 $2m$ は偶数なので、$m+n$ と $m-n$ は偶数である必要があります。

$24$ の約数の組み合わせで、積が $24$ であり、両方とも偶数である組み合わせは、

$(m+n, m-n) = (12, 2), (6, 4)$

の2通りです。

(i) $(m+n, m-n) = (12, 2)$ のとき

$m+n = 12$

$m-n = 2$

これを解くと、$2m = 14$ より $m = 7$。

$n = 12 - m = 12 - 7 = 5$

$n=5$ は自然数なので条件を満たします。

(ii) $(m+n, m-n) = (6, 4)$ のとき

$m+n = 6$

$m-n = 4$

これを解くと、$2m = 10$ より $m = 5$。

$n = 6 - m = 6 - 5 = 1$

$n=1$ は自然数なので条件を満たします。

3. 最終的な答え

$n=1, 5$