点Tは円の接点である。線分PTの長さ$x$を求める問題です。線分PAの長さは4, 線分BAの長さは3です。

1. 問題の内容

点Tは円の接点である。線分PTの長さ$x$を求める問題です。線分PAの長さは4, 線分BAの長さは3です。

2. 解き方の手順

接線と弦の作る角の定理より、$\angle PTA = \angle TBA$となります。

また、$\angle ATP$と$\angle BTA$を共有しているので、$\triangle PTA$と$\triangle BTA$は相似です。

したがって、対応する辺の比が等しくなるので、以下の関係が成り立ちます。

$\frac{PT}{BT} = \frac{AT}{BA} = \frac{PA}{TA}$

$AT = BT$であるため、$\frac{PT}{AT} = \frac{AT}{3} = \frac{4}{AT}$ となります。

$AT^2 = 3 \times 4 = 12$

$AT = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

$\frac{PT}{2\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

$PT = \frac{(2\sqrt{3})(2\sqrt{3})}{3} = \frac{4 \times 3}{3} = 4$

方べきの定理より $PT^2 = PA \times PB$

$PT^2 = PA(PA+AB)$

$PT^2 = x^2= PA(PA+3)$

円の接線定理より $PT^2=PA(PA+AB)$が成り立つので

$x^2=4(4+3)=4\times 7=28$

$x=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$

3. 最終的な答え

$x = 2\sqrt{7}$