放物線 $y = 2(x+2)^2 - 1$ を $x$ 軸方向に $3$、$y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動して得られる放物線の頂点と方程式を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = 2(x+2)^2 - 1$ を $x$ 軸方向に $3$、$y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動して得られる放物線の頂点と方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 元の放物線 $y = 2(x+2)^2 - 1$ の頂点を求める。

放物線の式は $y = a(x-p)^2 + q$ の形をしているとき、頂点は $(p, q)$ である。

したがって、$y = 2(x+2)^2 - 1$ の頂点は $(-2, -1)$ である。

(2) 頂点を平行移動する。

$x$ 軸方向に $3$、$y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動するので、移動後の頂点は $(-2+3, -1+2) = (1, 1)$ となる。

(3) 平行移動後の放物線の方程式を求める。

平行移動しても $x^2$ の係数は変わらないので、$x^2$ の係数は $2$ のままである。

頂点が $(1, 1)$ なので、放物線の方程式は $y = 2(x-1)^2 + 1$ となる。

展開して整理すると、

$y = 2(x^2 - 2x + 1) + 1 = 2x^2 - 4x + 2 + 1 = 2x^2 - 4x + 3$

3. 最終的な答え

頂点: $(1, 1)$

式: $y = 2x^2 - 4x + 3$