袋の中に白玉7個、黒玉5個、赤玉3個、青玉1個が入っている。この中から同時に3個の玉を取り出すとき、3個の玉の色が全て同じである確率を求める。

1. 問題の内容

袋の中に白玉7個、黒玉5個、赤玉3個、青玉1個が入っている。この中から同時に3個の玉を取り出すとき、3個の玉の色が全て同じである確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、3個の玉を取り出す全ての場合の数を計算します。

袋の中には合計 $7 + 5 + 3 + 1 = 16$ 個の玉が入っています。

したがって、16個の中から3個を取り出す組み合わせの数は、

$_{16}C_3 = \frac{16!}{3!(16-3)!} = \frac{16!}{3!13!} = \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1} = 16 \times 5 \times 7 = 560$ 通りです。

次に、3個の玉の色が全て同じになる場合を考えます。

- 白玉3個を取り出す場合：$_{7}C_3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 通り

- 黒玉3個を取り出す場合：$_{5}C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り

- 赤玉3個を取り出す場合：$_{3}C_3 = 1$ 通り

- 青玉は1個しかないので、3個の青玉を取り出すことはできません。

したがって、3個の玉の色が全て同じになる場合は、

$35 + 10 + 1 = 46$ 通りです。

求める確率は、

$\frac{3個の玉の色が全て同じになる場合の数}{3個の玉を取り出す全ての場合の数} = \frac{46}{560} = \frac{23}{280}$

3. 最終的な答え

$\frac{23}{280}$