赤玉3個、青玉4個、白玉1個の合計8個の玉を1列に並べる場合の数を求める問題です。 * (ア) 全ての並べ方 * (イ) 青玉4個が連続する並べ方 * (ウ) 赤玉どうしが隣り合わない並べ方

## 問題99

1. 問題の内容

赤玉3個、青玉4個、白玉1個の合計8個の玉を1列に並べる場合の数を求める問題です。

* (ア) 全ての並べ方

* (イ) 青玉4個が連続する並べ方

* (ウ) 赤玉どうしが隣り合わない並べ方

2. 解き方の手順

* (ア) 全ての並べ方

同じものを含む順列の公式を使います。

$\frac{8!}{3!4!1!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 \times 5 = 280$

* (イ) 青玉4個が連続する並べ方

青玉4個を一つの塊として考えます。すると、赤玉3個、白玉1個、青玉の塊1個の合計5個を並べることになります。

$\frac{5!}{3!1!1!} = \frac{5 \times 4}{1} = 20$

* (ウ) 赤玉どうしが隣り合わない並べ方

まず、青玉4個と白玉1個を並べます。これは5個の玉の並べ方なので、並べ方は$\frac{5!}{4!1!} = 5$通りです。

例えば、並び方が「青青青青白」だったとすると、赤玉は「\_青\_青\_青\_青\_白\_」の\_の場所に入れることができます。\_の場所は6箇所あります。

この6箇所から3箇所を選んで赤玉を置く並べ方を考えれば良いので、${}_{6}C_{3}$を計算します。

${}_{6}C_{3} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

したがって、$5 \times 20 = 100$ 通りとなります。

3. 最終的な答え

* (ア) 280

* (イ) 20

* (ウ) 100

## 問題100

1. 問題の内容

10人の生徒をいくつかのグループに分ける場合の数を求める問題です。

* (ア) 5人、3人、2人のグループに分ける

* (イ) 4人、3人、3人のグループに分ける

2. 解き方の手順

* (ア) 5人、3人、2人のグループに分ける

10人から5人を選び、残りの5人から3人を選び、残りの2人から2人を選ぶ組み合わせの数を計算します。

${}_{10}C_{5} \times {}_{5}C_{3} \times {}_{2}C_{2} = \frac{10!}{5!5!} \times \frac{5!}{3!2!} \times \frac{2!}{2!0!} = \frac{10!}{5!3!2!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 \times 7 \times 3 = 2520$

* (イ) 4人、3人、3人のグループに分ける

10人から4人を選び、残りの6人から3人を選び、残りの3人から3人を選ぶ組み合わせの数を計算します。ただし、3人のグループが2つあるので、2!で割る必要があります。

$\frac{{}_{10}C_{4} \times {}_{6}C_{3} \times {}_{3}C_{3}}{2!} = \frac{\frac{10!}{4!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{3!0!}}{2} = \frac{\frac{10!}{4!3!3!}}{2} = \frac{10!}{4!3!3!2!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2} = 10 \times 3 \times 4 \times 7 \times 5 = 4200 / 2 = 2100$

3. 最終的な答え

* (ア) 2520

* (イ) 2100