53. 大人5人と子ども5人の合計10人の中から5人を選ぶとき、以下の選び方は何通りあるか。 (1) すべての選び方 (2) 大人2人、子ども3人を選ぶ。 54. aが5個、bが3個、cが2個の合計10文字を1列に並べるとき、並べ方の総数を求めよ。 55. 8個の数字1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3のすべてを使って8桁の整数を作るとき、整数は何個作れるか。

1. 問題の内容

5

3. 大人5人と子ども5人の合計10人の中から5人を選ぶとき、以下の選び方は何通りあるか。

(1) すべての選び方

(2) 大人2人、子ども3人を選ぶ。

5

4. aが5個、bが3個、cが2個の合計10文字を1列に並べるとき、並べ方の総数を求めよ。

5

5. 8個の数字1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3のすべてを使って8桁の整数を作るとき、整数は何個作れるか。

2. 解き方の手順

5

3. (1) 10人の中から5人を選ぶので、組み合わせの数 ${}_{10}C_5$を計算する。

${}_{10}C_5 = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2 \times 9 \times 2 \times 7 = 252$

(2) 大人5人の中から2人を選び、子ども5人の中から3人を選ぶ。それぞれの組み合わせの数を計算し、掛け合わせる。

大人の選び方：${}_5C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

子どもの選び方：${}_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

よって、選び方の総数は$10 \times 10 = 100$

5

4. 10個の文字を並べる総数は10!だが、同じ文字が複数あるため、重複を考慮する必要がある。aが5個、bが3個、cが2個あるので、並べ方の総数は以下のようになる。

$\frac{10!}{5!3!2!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 \times 7 \times 3 = 2520$

5

5. 8個の数字1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3を並べる総数は8!だが、同じ数字が複数あるため、重複を考慮する必要がある。1が3個、3が4個あるので、並べ方の総数は以下のようになる。

$\frac{8!}{3!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(4 \times 3 \times 2 \times 1)} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 \times 5 = 280$

3. 最終的な答え

5

3. (1) 252通り

(2) 100通り

5

4. 2520通り

5

5. 280個