問題は3つあります。 * 53: 大人5人と子供10人の合計15人の中から5人を選ぶ場合の数を求める。 (1) すべての選び方 (2) 大人2人、子供3人を選ぶ選び方 * 54: aが5個、bが3個、cが2個の合計10個の文字を1列に並べる場合の数を求める。 * 55: 8個の数字1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3 をすべて使って8桁の整数を作る場合の数を求める。

はい、承知いたしました。画像に書かれた数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

問題は3つあります。

* 53: 大人5人と子供10人の合計15人の中から5人を選ぶ場合の数を求める。

(1) すべての選び方

(2) 大人2人、子供3人を選ぶ選び方

* 54: aが5個、bが3個、cが2個の合計10個の文字を1列に並べる場合の数を求める。

* 55: 8個の数字1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3 をすべて使って8桁の整数を作る場合の数を求める。

2. 解き方の手順

* 53 (1): 15人から5人を選ぶ組み合わせなので、組み合わせの公式を使います。

$_{15}C_5 = \frac{15!}{5! (15-5)!} = \frac{15!}{5! 10!}$

* 53 (2): 大人2人を選ぶ組み合わせと、子供3人を選ぶ組み合わせの積を計算します。

大人2人の選び方: $_5C_2 = \frac{5!}{2! (5-2)!} = \frac{5!}{2! 3!}$

子供3人の選び方: $_{10}C_3 = \frac{10!}{3! (10-3)!} = \frac{10!}{3! 7!}$

全体の選び方: $_5C_2 \times _{10}C_3$

* 54: 同じものを含む順列の公式を使います。10個の文字のうち、aが5個、bが3個、cが2個なので、

$\frac{10!}{5! 3! 2!}$

* 55: 同じものを含む順列の公式を使います。8個の数字のうち、1が3個、2が1個、3が4個なので、

$\frac{8!}{3! 1! 4!}$

3. 最終的な答え

* 53 (1):

$_{15}C_5 = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 3003$ 通り

* 53 (2):

$_5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

$_{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$

$10 \times 120 = 1200$ 通り

* 54:

$\frac{10!}{5! 3! 2!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = 2520$ 通り

* 55:

$\frac{8!}{3! 1! 4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 280$ 個

**答え**

* 53 (1): 3003 通り

* 53 (2): 1200 通り

* 54: 2520 通り

* 55: 280 個