あるクラスの10人の生徒の数学の成績のデータが与えられている。また、5人の生徒A, B, C, D, Eについて数学と英語の成績が与えられている。 (1) 10人の数学の成績の中央値と平均値を求める。 (2) 10人の数学の成績の分散と標準偏差を求める。 (3) A, B, C, D, Eの5人の数学と英語の成績の相関係数を求める。

1. 問題の内容

あるクラスの10人の生徒の数学の成績のデータが与えられている。また、5人の生徒A, B, C, D, Eについて数学と英語の成績が与えられている。

(1) 10人の数学の成績の中央値と平均値を求める。

(2) 10人の数学の成績の分散と標準偏差を求める。

(3) A, B, C, D, Eの5人の数学と英語の成績の相関係数を求める。

2. 解き方の手順

(1)

中央値：データを小さい順に並べたときの中央の値。データ数が偶数の場合は、中央の2つの値の平均を取る。

平均値：データの総和をデータ数で割ったもの。

10人の数学の成績は、2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 9 である。

中央値は、5番目の値5と6番目の値5の平均なので、$\frac{5+5}{2} = 5$

平均値は、$\frac{2+3+3+4+5+5+6+6+7+9}{10} = \frac{50}{10} = 5$

(2)

分散：各データの値から平均値を引いた値の二乗和をデータ数で割ったもの。

標準偏差：分散の平方根。

10人の数学の成績の平均値は5である。

分散は、

$\frac{(2-5)^2 + (3-5)^2 + (3-5)^2 + (4-5)^2 + (5-5)^2 + (5-5)^2 + (6-5)^2 + (6-5)^2 + (7-5)^2 + (9-5)^2}{10}$

$= \frac{9 + 4 + 4 + 1 + 0 + 0 + 1 + 1 + 4 + 16}{10} = \frac{40}{10} = 4$

標準偏差は、$\sqrt{4} = 2$

(3)

相関係数：2つのデータの関係を表す指標。

$r = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2}}$

ここで、$x_i$は数学の成績、$y_i$は英語の成績、$\bar{x}$は数学の平均、$\bar{y}$は英語の平均。

数学の平均：$\frac{2+3+5+6+9}{5} = \frac{25}{5} = 5$

英語の平均：$\frac{6+2+9+8+5}{5} = \frac{30}{5} = 6$

分子：

$(2-5)(6-6) + (3-5)(2-6) + (5-5)(9-6) + (6-5)(8-6) + (9-5)(5-6)$

$= (-3)(0) + (-2)(-4) + (0)(3) + (1)(2) + (4)(-1) = 0 + 8 + 0 + 2 - 4 = 6$

分母：

数学の偏差平方和：$(2-5)^2 + (3-5)^2 + (5-5)^2 + (6-5)^2 + (9-5)^2 = 9 + 4 + 0 + 1 + 16 = 30$

英語の偏差平方和：$(6-6)^2 + (2-6)^2 + (9-6)^2 + (8-6)^2 + (5-6)^2 = 0 + 16 + 9 + 4 + 1 = 30$

分母 = $\sqrt{30 \times 30} = 30$

相関係数：$r = \frac{6}{30} = \frac{1}{5} = 0.2$

3. 最終的な答え

(1) 中央値: 5, 平均値: 5

(2) 分散: 4, 標準偏差: 2

(3) 相関係数: 0.2