大人5人と子供10人の中から5人を選ぶ場合の数を求める問題です。 (1) すべての選び方を求めます。 (2) 大人が2人、子供が3人を選ぶ場合の数を求めます。

承知しました。それでは、画像に写っている3つの問題について、順に解説していきます。

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3. の問題

1. 問題の内容

大人5人と子供10人の中から5人を選ぶ場合の数を求める問題です。

(1) すべての選び方を求めます。

(2) 大人が2人、子供が3人を選ぶ場合の数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 全体で15人の中から5人を選ぶ組み合わせなので、組み合わせの公式を使います。

$_{15}C_5 = \frac{15!}{5!(15-5)!} = \frac{15!}{5!10!}$

(2) 大人5人から2人を選ぶ組み合わせと、子供10人から3人を選ぶ組み合わせの積を計算します。

大人の選び方は、$_{5}C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り

子供の選び方は、$_{10}C_3 = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ 通り

したがって、大人が2人、子供が3人を選ぶ場合の数は $10 \times 120$ 通りとなります。

3. 最終的な答え

(1) すべての選び方:

$\frac{15!}{5!10!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 3003$ 通り

(2) 大人が2人、子供が3人を選ぶ選び方:

$10 \times 120 = 1200$ 通り

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4. の問題

1. 問題の内容

aが5個、bが3個、cが2個の計10個の文字を1列に並べる場合の数を求める問題です。

2. 解き方の手順

同じものを含む順列の公式を使います。10個の文字を並べるので10!ですが、a, b, cそれぞれの重複を考慮する必要があります。

並べ方の総数は $\frac{10!}{5!3!2!}$ で計算できます。

3. 最終的な答え

$\frac{10!}{5!3!2!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 \times 7 \times 3 = 2520$ 通り

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5. の問題

1. 問題の内容

8個の数字 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3 をすべて使って8桁の整数を作るとき、整数は何個作れるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

これも同じものを含む順列の考え方を使います。

8桁の整数を作るので、8! を考えます。

ただし、1が3個、3が4個あるので、それぞれの重複を考慮して $\frac{8!}{3!4!}$ を計算します。

3. 最終的な答え

$\frac{8!}{3!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 \times 5 = 280$ 個