放物線 $y = 4(x+3)^2 + 5$ を $x$ 軸方向に $4$、$y$ 軸方向に $-6$ だけ平行移動して得られる放物線の頂点と方程式を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = 4(x+3)^2 + 5$ を $x$ 軸方向に $4$、$y$ 軸方向に $-6$ だけ平行移動して得られる放物線の頂点と方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

元の放物線 $y = 4(x+3)^2 + 5$ の頂点は $(-3, 5)$ です。

$x$軸方向に $4$、$y$軸方向に $-6$ だけ平行移動すると、頂点の座標は以下のように変化します。

$x$座標： $-3 + 4 = 1$

$y$座標： $5 + (-6) = -1$

したがって、移動後の放物線の頂点は $(1, -1)$ です。

放物線を平行移動しても、$x^2$ の係数は変わりません。つまり、$x^2$の係数は$4$のままです。

頂点が $(1, -1)$ である放物線の方程式は、$y = a(x - 1)^2 - 1$ の形で表されます。

$x^2$ の係数は $4$ であることから、$a = 4$ となります。

よって、移動後の放物線の方程式は $y = 4(x - 1)^2 - 1$ となります。

この式を展開すると、

$y = 4(x^2 - 2x + 1) - 1$

$y = 4x^2 - 8x + 4 - 1$

$y = 4x^2 - 8x + 3$

となります。

3. 最終的な答え

頂点: $(1, -1)$

式: $y = 4(x-1)^2 - 1$ または $y = 4x^2 - 8x + 3$