3個のサイコロを同時に投げるとき、少なくとも2個のサイコロの目が一致する確率を求める。

## 問題106

1. 問題の内容

3個のサイコロを同時に投げるとき、少なくとも2個のサイコロの目が一致する確率を求める。

2. 解き方の手順

少なくとも2個のサイコロの目が一致する確率を直接求めるのは難しいので、余事象を利用する。余事象は「3個のサイコロの目がすべて異なる」である。

* 3個のサイコロの目の出方の総数は、$6 \times 6 \times 6 = 216$通り。

* 3個のサイコロの目がすべて異なる場合の数は、$6 \times 5 \times 4 = 120$通り。

* 3個のサイコロの目がすべて異なる確率は、$120/216 = 5/9$。

* したがって、少なくとも2個のサイコロの目が一致する確率は、$1 - 5/9 = 4/9$。

3. 最終的な答え

4/9

## 問題107(前半)

1. 問題の内容

ハート3枚、ダイヤ2枚、スペード1枚の計6枚のトランプを1列に並べるとき、両端がハートである確率を求める。

2. 解き方の手順

* 6枚のトランプの並べ方の総数は、$6! / (3!2!1!) = 720 / (6 \times 2 \times 1) = 60$通り。

* 両端がハートである並べ方を考える。まず、両端にハートを配置する方法は、3枚のハートから2枚選んで並べるので、$3 \times 2 = 6$通り。

* 残りの4枚（ハート1枚、ダイヤ2枚、スペード1枚）の並べ方は、$4! / (1!2!1!) = 24 / 2 = 12$通り。

* したがって、両端がハートである並べ方の総数は、$3 \times 2 \times 4!/2! = 6 \times 12 = 36$通り。

(別解: 3枚のハートから2枚を選んで並べる方法は ${}_3P_2 = 3 \times 2 = 6$ 通り。残りの4枚の並べ方は4枚の中からハート、ダイヤ、スペードの位置を選ぶので ${}_4C_1 \times {}_3C_2 \times {}_1C_1 = 4 \times 3 \times 1 = 12$ 通り。)

* 両端がハートである確率は、$36/60 = 3/5$。

3. 最終的な答え

3/5

## 問題107(後半)

1. 問題の内容

ハート3枚、ダイヤ2枚、スペード1枚の計6枚のトランプを1列に並べるとき、ハートとダイヤが隣り合わない確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、スペード１枚を固定して残りのハートとダイヤの並び方を考える。

ハートとダイヤが隣り合わないので、スペードを分離壁のように考える。

まずハートを並べる場所を決め、ハートの間もしくは端にダイヤを入れる。

ハート３枚の並べ方は１通り。

ハートを並べたときにできる隙間は４箇所。この４箇所からダイヤ２枚の場所を選ぶとダイヤが隣り合わない。

4箇所から2箇所を選ぶ方法は${}_4C_2 = 6$通り。

トランプの並べ方の総数は、$6! / (3!2!1!) = 720 / (6 \times 2 \times 1) = 60$通り。

ハートとダイヤが隣り合わない確率は、$6/60 = 1/10$ではない.

別解として包除原理を利用する。

まず6枚を並べる場合の数は60通り。

ハートとダイヤが隣り合わない確率を考える。

ハートとダイヤが少なくとも一組隣り合う場合の数を求める。

まず、隣り合うハートとダイヤのペアをHDとDHと考える。

HD, DHというペアが少なくとも一組ある確率を求める。

この求め方が難しい。包除原理で解けない可能性あり。

3. 最終的な答え

詳細な解法が難しいので、保留とする。

(推定: 正確な値を出すのが難しい問題なので、試験問題として不適切である可能性もある。)