4つのサイコロ A, B, C, D があります。 (1) A, B の 2 つのサイコロを 1 回振り、出た目をそれぞれ $a$, $b$ とするとき、$ab = 30$ となる確率を求めます。 (2) A, B, C の 3 つのサイコロを 1 回振り、出た目をそれぞれ $a$, $b$, $c$ とします。 (i) $abc = 30$ となる確率と、$abc = 180$ となる確率をそれぞれ求めます。 (ii) $abc$ が 30 の倍数となる確率を求めます。 (3) A, B, C, D の 4 つのサイコロを 1 回振り、出た目をそれぞれ $a$, $b$, $c$, $d$ とします。 (i) $a, b, c, d$ の中に、5 と 6 がともに含まれる確率を求めます。 (ii) $abcd$ が 30 の倍数となる確率を求めます。

はい、承知いたしました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

4つのサイコロ A, B, C, D があります。

(1) A, B の 2 つのサイコロを 1 回振り、出た目をそれぞれ $a$, $b$ とするとき、$ab = 30$ となる確率を求めます。

(2) A, B, C の 3 つのサイコロを 1 回振り、出た目をそれぞれ $a$, $b$, $c$ とします。

(i) $abc = 30$ となる確率と、$abc = 180$ となる確率をそれぞれ求めます。

(ii) $abc$ が 30 の倍数となる確率を求めます。

(3) A, B, C, D の 4 つのサイコロを 1 回振り、出た目をそれぞれ $a$, $b$, $c$, $d$ とします。

(i) $a, b, c, d$ の中に、5 と 6 がともに含まれる確率を求めます。

(ii) $abcd$ が 30 の倍数となる確率を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

サイコロ A, B の出目の組み合わせは全部で $6 \times 6 = 36$ 通りあります。

$ab = 30$ となるのは、$(a, b) = (5, 6), (6, 5)$ の 2 通りです。

したがって、確率は $\frac{2}{36} = \frac{1}{18}$ です。

(2) (i)

サイコロ A, B, C の出目の組み合わせは全部で $6 \times 6 \times 6 = 216$ 通りあります。

$abc = 30$ となるのは、$(a, b, c) = (1, 5, 6), (1, 6, 5), (5, 1, 6), (5, 6, 1), (6, 1, 5), (6, 5, 1), (2, 3, 5), (2, 5, 3), (3, 2, 5), (3, 5, 2), (5, 2, 3), (5, 3, 2)$ の 12 通りです。

したがって、確率は $\frac{12}{216} = \frac{1}{18}$ です。

$abc = 180$ となるのは、$(a, b, c) = (4, 6, \frac{180}{24})$,　　$180=2^2*3^2*5$

$(a, b, c) = (5, 6, 6), (6, 5, 6), (6, 6, 5), (3, 6, 10)$, $(a, b, c) = (3, 4, 15)$。

しかし、各要素は６以下でなければならないので、以下の場合分けとなる：

$(3, 5, 12), (3, 6, 10) , (4, 5, 9) , (4, 6, \frac{30}{4}) = (4,6,7.5)$.

$(5, 6, 6)$, permutationは3つある.

$(3, 6, 10)$ などはありえないため、

$(a, b, c) = (5, 6, 6), (6, 5, 6), (6, 6, 5)$ の 3 通りです。

したがって、確率は $\frac{3}{216} = \frac{1}{72}$ です。

(2) (ii)

$abc$ が 30 の倍数となるのは、$abc$ が 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270, 300, 330, 360 のいずれかになる場合です。

余事象を考えると、$abc$ が 30 の倍数にならない場合を求めるのが難しいです。

30の倍数になる条件は、2の倍数、3の倍数、5の倍数になることである。

$P(A\cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A\cap B) - P(B\cap C) - P(C\cap A) + P(A\cap B \cap C)$

A: 2の倍数、B: 3の倍数、C: 5の倍数

$P(A) = 1 - (1/2)^3 = 7/8$, $P(B) = 1 - (2/3)^3 = 19/27$, $P(C) = 1 - (4/5)^3 = 61/125$

求める確率は、$1 - P(\overline{A})P(\overline{B})P(\overline{C}) = 1 - (\frac{1}{2})^3 (\frac{2}{3})^3 (\frac{4}{5})^3 = 1 - \frac{1}{8} \frac{8}{27} \frac{64}{125} = 1 - \frac{64}{27 \times 125} = 1 - \frac{64}{3375} = \frac{3311}{3375}$

(3) (i)

4 つのサイコロの出目の組み合わせは全部で $6^4 = 1296$ 通りあります。

5と6が少なくとも一つずつ含まれる確率を求める。

余事象は、5が含まれない、または6が含まれない、または両方含まれない。

5が含まれない確率は $(5/6)^4 = 625/1296$

6が含まれない確率は $(5/6)^4 = 625/1296$

5も6も含まれない確率は $(4/6)^4 = (2/3)^4 = 16/81 = 256/1296$

5が含まれないまたは6が含まれない確率は $\frac{625}{1296} + \frac{625}{1296} - \frac{256}{1296} = \frac{994}{1296} = \frac{497}{648}$

5と6がともに含まれる確率は $1 - \frac{497}{648} = \frac{151}{648}$

(3) (ii)

$abcd$ が 30 の倍数となる確率は、2の倍数、3の倍数、5の倍数となる確率を求める必要がある。

2の倍数である確率は $1 - (1/2)^4 = 1 - 1/16 = 15/16$

3の倍数である確率は $1 - (2/3)^4 = 1 - 16/81 = 65/81$

5の倍数である確率は $1 - (4/5)^4 = 1 - 256/625 = 369/625$

$1 - P(\overline{A})P(\overline{B})P(\overline{C}) = 1 - (\frac{1}{2})^4 (\frac{2}{3})^4 (\frac{4}{5})^4 = 1 - \frac{1}{16} \frac{16}{81} \frac{256}{625} = 1 - \frac{256}{81 \times 625} = 1 - \frac{256}{50625} = \frac{50369}{50625}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{18}$

(2) (i) $abc = 30$ となる確率: $\frac{1}{18}$, $abc = 180$ となる確率: $\frac{1}{72}$

(2) (ii) $\frac{3311}{3375}$

(3) (i) $\frac{151}{648}$

(3) (ii) $\frac{50369}{50625}$