全体集合 $U$ を1から30までの自然数全体の集合とする。$U$ の部分集合のうち、3の倍数全体の集合を $A$、4の倍数全体の集合を $B$ とするとき、集合 $\overline{A} \cap B = \{4, \text{ア}, \text{イウ}, \text{エオ}, 28\}$ である。ただし、$\text{イウ} < \text{エオ}$ とする。ア、イウ、エオに入る数を求めよ。

1. 問題の内容

全体集合 $U$ を1から30までの自然数全体の集合とする。$U$ の部分集合のうち、3の倍数全体の集合を $A$、4の倍数全体の集合を $B$ とするとき、集合 $\overline{A} \cap B = \{4, \text{ア}, \text{イウ}, \text{エオ}, 28\}$ である。ただし、$\text{イウ} < \text{エオ}$ とする。ア、イウ、エオに入る数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$B$ は4の倍数の集合なので、$B = \{4, 8, 12, 16, 20, 24, 28\}$ である。

$\overline{A}$ は $A$ の補集合であり、$A$ は3の倍数の集合なので、$\overline{A}$ は3の倍数でない自然数の集合である。

したがって、$\overline{A} \cap B$ は、4の倍数であり、かつ3の倍数でない自然数の集合である。

$B$ の要素を一つずつ確認し、3の倍数であるものを除外する。

$4$ は3の倍数ではないので、$\overline{A} \cap B$ に含まれる。

$8$ は3の倍数ではないので、$\overline{A} \cap B$ に含まれる。

$12$ は3の倍数であるので、$\overline{A} \cap B$ には含まれない。

$16$ は3の倍数ではないので、$\overline{A} \cap B$ に含まれる。

$20$ は3の倍数ではないので、$\overline{A} \cap B$ に含まれる。

$24$ は3の倍数であるので、$\overline{A} \cap B$ には含まれない。

$28$ は3の倍数ではないので、$\overline{A} \cap B$ に含まれる。

したがって、$\overline{A} \cap B = \{4, 8, 16, 20, 28\}$ となる。

$\overline{A} \cap B = \{4, \text{ア}, \text{イウ}, \text{エオ}, 28\}$ であり、$\text{イウ} < \text{エオ}$ であるから、

$\text{ア} = 8, \text{イウ} = 16, \text{エオ} = 20$ である。

3. 最終的な答え

ア: 8

イウ: 16

エオ: 20