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ハート3枚、ダイヤ2枚、スペード1枚の計6枚のトランプを1列に並べる。 (ア) 両端がハートである確率を求めよ。 (イ) ハートとダイヤが隣り合わない確率を求めよ。

確率論・統計学確率順列組み合わせトランプ
2025/4/8

1. 問題の内容

ハート3枚、ダイヤ2枚、スペード1枚の計6枚のトランプを1列に並べる。
(ア) 両端がハートである確率を求めよ。
(イ) ハートとダイヤが隣り合わない確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(ア) 両端がハートである確率
6枚のカードの並べ方は全部で 6!6! 通り。ただし、同じ種類のカードは区別しないので、並べ方は 6!3!2!1!=72012=60\frac{6!}{3!2!1!} = \frac{720}{12} = 60 通り。
両端がハートであるとき、両端のハートの選び方は 3P2=3×2=6{}_3P_2 = 3 \times 2 = 6 通り。
残りの4枚のカードの並べ方は 4!1!2!1!=242=12\frac{4!}{1!2!1!} = \frac{24}{2} = 12 通り。
よって、両端がハートである並べ方は 6×12=726 \times 12 = 72 通り。
求める確率は 7260=65×11=35×22=35\frac{72}{60} = \frac{6}{5} \times \frac{1}{1} = \frac{3}{5} \times \frac{2}{2} = \frac{3}{5}
別解：
6枚のカードの並び方は 6!/(3!2!1!)=606! / (3!2!1!) = 60 通り。
両端がハートである並び方は、3つのハートから2つ選んで並べ、残りの4枚（ハート1枚、ダイヤ2枚、スペード1枚）を並べるので、 3P2×4!/(1!2!1!)=6×12=72 {}_3P_2 \times 4! / (1!2!1!) = 6 \times 12 = 72 通り。
求める確率は 7260=65=35 \frac{72}{60} = \frac{6}{5} = \frac{3}{5} 。この方法だと重複して数えている。
6枚の並べ方は 6!/(3!2!)=720/(6∗2)=720/12=606! / (3! 2!) = 720 / (6*2) = 720 / 12 = 60 通り
両端にハートを並べる方法は、3枚から2枚を選び順列を考えるので 3P2=6 {}_3P_2 = 6
残りの並べ方は、ハート1枚、ダイヤ2枚、スペード1枚なので 4!/(1!2!1!)=24/2=12 4! / (1! 2! 1!) = 24 / 2 = 12
6×12=72 6 \times 12 = 72 ではない。両端を固定した場合に、同じカードがダブって数えられる場合がある。
求める確率 = 3C2×4!2!6!3!2!=3×1260=3660=35\frac{{}_3C_2 \times \frac{4!}{2!}}{ \frac{6!}{3!2!}} = \frac{3 \times 12}{60} = \frac{36}{60} = \frac{3}{5}
(イ) ハートとダイヤが隣り合わない確率
まず、スペードを並べる。
次に、スペードの前後にハートを並べる。
最後に、残った場所にダイヤを並べる。
6枚を並べる方法は60通り
ハートとダイヤが隣り合う並べ方を考える。
ハートとダイヤが隣り合わない並べ方を考えるのは難しいので、補集合を考える。
全事象は60通り
ハートとダイヤが隣り合わない確率を求める。
まずスペードを並べる。
_ S _
ここにハート3枚とダイヤ2枚を並べる。
ハートとダイヤが隣り合わないのは、両端がハートの場合のみ。
H _ H _ H
この_にDを入れるとH D H D Hとなり必ず隣り合う。
よって、ハートとダイヤが隣り合わない場合は少ない。
ハートとダイヤが隣り合わない確率
1 - ハートとダイヤが隣り合う確率
全ての並べ方：60通り
ハートとダイヤが隣り合う場合を数える。
難しいので、直接数える。
H H H D D S : 隣り合う
H H D H D S : 隣り合う
H H D D H S : 隣り合う
H D H H D S : 隣り合う
H D H D H S : 隣り合う
H D D H H S : 隣り合う
D D H H H S : 隣り合う
D H D H H S : 隣り合う
D H H D H S : 隣り合う
D H H H D S : 隣り合う
S H H H D D : 隣り合う
S H H D H D : 隣り合う
S H H D D H : 隣り合う
S H D H H D : 隣り合う
S H D H D H : 隣り合う
S H D D H H : 隣り合う
S D D H H H : 隣り合う
S D H D H H : 隣り合う
S D H H D H : 隣り合う
S D H H H D : 隣り合う
まずスペード以外の5枚を並べ、そこにスペードを挿入する方法で計算する。
S _ _ _ _ _ の形でスペードを配置する。
ハートとダイヤが隣り合わない並びは
H H H S D D
これを並び替える。
H H H D D S:
ハートを先に並べ、ダイヤを並べる。
60−(....)/60=..... 60 - (....) / 60 = .....
(全事象−隣り合う事象)/全事象 (\text{全事象} - \text{隣り合う事象}) / \text{全事象}
並び方は60通り
3枚のハートを並べ、その間にダイヤが入らないようにする。
H _ H _ H と並び、_にダイヤが入らないようにする。
H S H S H と並べ、残った箇所に入れる場合も考える。
全ての並べ方は60通り。
ハートとダイヤが隣り合わないのは、スペードを間に入れるしかない。
H H H D D S の並び替えを考える。

3. 最終的な答え

(ア) 3/5
(イ) 1/5

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