$x$を実数とするとき、命題「$-3 \leq x < 2$ ならば $-4 < x \leq 2$ である」が真であるか偽であるかを判定し、偽である場合は反例を挙げる。

1. 問題の内容

$x$を実数とするとき、命題「$-3 \leq x < 2$ ならば $-4 < x \leq 2$ である」が真であるか偽であるかを判定し、偽である場合は反例を挙げる。

2. 解き方の手順

命題「$P$ ならば $Q$」が真であるとは、$P$を満たす全ての$x$が$Q$を満たすことである。命題が偽であるとは、$P$を満たすが$Q$を満たさない$x$が存在することである。この$x$を反例と呼ぶ。

$P: -3 \leq x < 2$

$Q: -4 < x \leq 2$

$P$を満たす$x$の範囲は、$-3 \leq x < 2$である。

$Q$を満たす$x$の範囲は、$-4 < x \leq 2$である。

数直線で考えると、$P$の範囲は$Q$の範囲に含まれている。

つまり、$P$を満たす全ての$x$は$Q$を満たす。

したがって、命題は真である。

選択肢2, 3, 4は偽であると述べているので、誤りである。

選択肢2の$x = -3$は$P$を満たし、$Q$を満たすので反例ではない。

選択肢3の$x = -1/2$は$P$を満たし、$Q$を満たすので反例ではない。

選択肢4の$x = 3/2$は$P$を満たし、$Q$を満たすので反例ではない。

3. 最終的な答え

1. 真