袋の中に赤玉5個、白玉4個、青玉3個が入っている。この中から同時に3個の玉を取り出すとき、以下の確率を求めよ。 * 白玉2個と青玉1個が出る確率 * 玉の色が3種類である確率 * 玉の色が1種類である確率 * 玉の色が2種類である確率

1. 問題の内容

袋の中に赤玉5個、白玉4個、青玉3個が入っている。この中から同時に3個の玉を取り出すとき、以下の確率を求めよ。

* 白玉2個と青玉1個が出る確率

* 玉の色が3種類である確率

* 玉の色が1種類である確率

* 玉の色が2種類である確率

2. 解き方の手順

まず、3個の玉の取り出し方の総数を求める。これは、全部で5+4+3=12個の玉から3個を選ぶ組み合わせなので、

$_{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$通り。

(1) 白玉2個と青玉1個が出る確率

白玉2個の選び方は、$_{4}C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通り。

青玉1個の選び方は、$_{3}C_1 = 3$通り。

したがって、白玉2個と青玉1個が出る組み合わせは、$6 \times 3 = 18$通り。

求める確率は、$\frac{18}{220} = \frac{9}{110}$。

(2) 玉の色が3種類である確率

3種類の色を1つずつ選ぶので、赤玉、白玉、青玉をそれぞれ1個ずつ選ぶ必要がある。

赤玉1個の選び方は、$_{5}C_1 = 5$通り。

白玉1個の選び方は、$_{4}C_1 = 4$通り。

青玉1個の選び方は、$_{3}C_1 = 3$通り。

したがって、3種類の色が出る組み合わせは、$5 \times 4 \times 3 = 60$通り。

求める確率は、$\frac{60}{220} = \frac{3}{11}$。

(3) 玉の色が1種類である確率

赤玉3個を選ぶ場合、$_{5}C_3 = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$通り。

白玉3個を選ぶ場合、$_{4}C_3 = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4$通り。

青玉3個を選ぶ場合、$_{3}C_3 = 1$通り。

したがって、同じ色の玉が出る組み合わせは、$10 + 4 + 1 = 15$通り。

求める確率は、$\frac{15}{220} = \frac{3}{44}$。

(4) 玉の色が2種類である確率

これは、全体から1種類と3種類である確率を引くことで計算できる。

色の種類が2種類である事象は，色の種類が1種類である事象，3種類である事象と排反なので，

$P(\text{2種類}) = 1 - P(\text{1種類}) - P(\text{3種類})$

$P(\text{2種類}) = 1 - \frac{3}{44} - \frac{3}{11} = 1 - \frac{3}{44} - \frac{12}{44} = 1 - \frac{15}{44} = \frac{29}{44}$。

3. 最終的な答え

* 白玉2個と青玉1個が出る確率: $\frac{9}{110}$

* 玉の色が3種類である確率: $\frac{3}{11}$

* 玉の色が1種類である確率: $\frac{3}{44}$

* 玉の色が2種類である確率: $\frac{29}{44}$