関数 $y = x^2 + 4x + 2$ の $-3 \le x \le 1$ における最大値と最小値を求め、それぞれの $x$ の値を答える問題です。もし最大値または最小値が存在しない場合は、「なし」と答えます。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 + 4x + 2$ の $-3 \le x \le 1$ における最大値と最小値を求め、それぞれの $x$ の値を答える問題です。もし最大値または最小値が存在しない場合は、「なし」と答えます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 + 4x + 2 = (x^2 + 4x + 4) - 4 + 2 = (x + 2)^2 - 2$

したがって、この2次関数の頂点は $(-2, -2)$ です。また、$x^2$ の係数が正であるため、下に凸の放物線です。

次に、定義域 $-3 \le x \le 1$ における関数の値を考えます。

* $x = -3$ のとき、$y = (-3)^2 + 4(-3) + 2 = 9 - 12 + 2 = -1$

* $x = -2$ (頂点の $x$ 座標) のとき、$y = (-2)^2 + 4(-2) + 2 = 4 - 8 + 2 = -2$

* $x = 1$ のとき、$y = 1^2 + 4(1) + 2 = 1 + 4 + 2 = 7$

定義域に含まれる頂点の $x$ 座標は $x = -2$ で、これは $-3 \le x \le 1$ の範囲に含まれています。したがって、$x = -2$ のとき最小値 $y = -2$ をとります。

また、定義域の端点である $x = -3$ と $x = 1$ における $y$ の値を比較すると、$x = 1$ のとき $y = 7$ で、$x = -3$ のとき $y = -1$ です。したがって、最大値は $x = 1$ のときの $y = 7$ です。

3. 最終的な答え

最大値: 7 ($x = 1$ のとき)

最小値: -2 ($x = -2$ のとき)