10人を5人、2人、2人、1人の4つのグループに分ける方法の総数を求めます。

1. 問題の内容

10人を5人、2人、2人、1人の4つのグループに分ける方法の総数を求めます。

2. 解き方の手順

まず、10人から5人を選ぶ組み合わせの数を計算します。これは、組み合わせの公式を用いて ${}_{10}C_5$ で表されます。

${}_{10}C_5 = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$

次に、残りの5人から2人を選ぶ組み合わせの数を計算します。これは ${}_5C_2$ で表されます。

${}_5C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

次に、残りの3人から2人を選ぶ組み合わせの数を計算します。これは ${}_3C_2$ で表されます。

${}_3C_2 = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$

最後に、残りの1人から1人を選ぶ組み合わせの数は ${}_1C_1 = 1$ です。

ここで、2人のグループが2つあるため、これらのグループの順序を区別しないようにする必要があります。したがって、2つのグループの並び替え (2! = 2) で割る必要があります。

したがって、合計の組み合わせの数は次のようになります。

$\frac{{}_{10}C_5 \times {}_5C_2 \times {}_3C_2 \times {}_1C_1}{2!} = \frac{252 \times 10 \times 3 \times 1}{2} = \frac{7560}{2} = 3780$

3. 最終的な答え

3780