問題113は、1つのサイコロを5回投げる試行に関する確率の問題です。具体的には、以下の3つの確率を求める必要があります。 * 3の倍数の目がちょうど4回出る確率 (ア) * 3の倍数の目が4回以上出る確率 (イ) * 5回目に3度目の3の倍数の目が出る確率 (ウ)

1. 問題の内容

問題113は、1つのサイコロを5回投げる試行に関する確率の問題です。具体的には、以下の3つの確率を求める必要があります。

* 3の倍数の目がちょうど4回出る確率 (ア)

* 3の倍数の目が4回以上出る確率 (イ)

* 5回目に3度目の3の倍数の目が出る確率 (ウ)

2. 解き方の手順

サイコロを1回投げるとき、3の倍数の目（3または6）が出る確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$です。3の倍数の目が出ない確率は $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$です。

(ア) 3の倍数の目がちょうど4回出る確率

これは反復試行の確率の問題なので、以下の公式を使います。

$P = {}_n C_r p^r (1-p)^{n-r}$

ここで、$n=5$（試行回数）、$r=4$（成功回数）、$p=\frac{1}{3}$（成功確率）です。

したがって、

$P = {}_5 C_4 (\frac{1}{3})^4 (\frac{2}{3})^{5-4} = 5 (\frac{1}{81}) (\frac{2}{3}) = \frac{10}{243}$

(イ) 3の倍数の目が4回以上出る確率

これは、3の倍数の目が4回出る確率と5回出る確率の和です。4回出る確率は(ア)で求めた$\frac{10}{243}$です。5回出る確率は、

$P = {}_5 C_5 (\frac{1}{3})^5 (\frac{2}{3})^{5-5} = 1 (\frac{1}{243}) (1) = \frac{1}{243}$

したがって、4回以上出る確率は $\frac{10}{243} + \frac{1}{243} = \frac{11}{243}$

(ウ) 5回目に3度目の3の倍数の目が出る確率

5回目に3度目の3の倍数の目が出るためには、最初の4回でちょうど2回3の倍数の目が出て、5回目に3の倍数の目が出る必要があります。最初の4回で2回3の倍数の目が出る確率は、

$P = {}_4 C_2 (\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^{4-2} = 6 (\frac{1}{9}) (\frac{4}{9}) = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$

そして、5回目に3の倍数の目が出る確率は $\frac{1}{3}$です。したがって、求める確率は $\frac{8}{27} \times \frac{1}{3} = \frac{8}{81}$

3. 最終的な答え

ア: $\frac{10}{243}$

イ: $\frac{11}{243}$

ウ: $\frac{8}{81}$