媒介変数 $\theta$ を用いて $x = 3\sin\theta + 3$ および $y = 4\cos\theta - 2$ で表される関数 $y$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を $\theta$ の関数として表す問題です。ただし、$\cos\theta \neq 0$ とします。

1. 問題の内容

媒介変数 $\theta$ を用いて $x = 3\sin\theta + 3$ および $y = 4\cos\theta - 2$ で表される関数 $y$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を $\theta$ の関数として表す問題です。ただし、$\cos\theta \neq 0$ とします。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{dx}{d\theta}$ と $\frac{dy}{d\theta}$ を計算します。

$x = 3\sin\theta + 3$ を $\theta$ で微分すると、

$\frac{dx}{d\theta} = 3\cos\theta$

$y = 4\cos\theta - 2$ を $\theta$ で微分すると、

$\frac{dy}{d\theta} = -4\sin\theta$

次に、$\frac{dy}{dx}$ を計算します。$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ であるから、

$\frac{dy}{dx} = \frac{-4\sin\theta}{3\cos\theta} = -\frac{4}{3} \tan\theta$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{4}{3} \tan\theta$