不等式 $-3x^2 + 12x - 13 \le 0$ を満たす $x$ の範囲を求める問題です。選択肢として「すべての実数」と「なし」が与えられています。

1. 問題の内容

不等式 $-3x^2 + 12x - 13 \le 0$ を満たす $x$ の範囲を求める問題です。選択肢として「すべての実数」と「なし」が与えられています。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式の両辺に -1 をかけ、不等号の向きを変えます。

$3x^2 - 12x + 13 \ge 0$

次に、左辺の二次式を平方完成します。

$3(x^2 - 4x) + 13 \ge 0$

$3(x^2 - 4x + 4 - 4) + 13 \ge 0$

$3((x - 2)^2 - 4) + 13 \ge 0$

$3(x - 2)^2 - 12 + 13 \ge 0$

$3(x - 2)^2 + 1 \ge 0$

$(x - 2)^2$ は常に0以上の値をとるので、$3(x-2)^2$ も常に0以上の値をとります。

したがって、$3(x - 2)^2 + 1$ は常に1以上の値をとり、0以上となることが保証されます。

よって、すべての実数 $x$ に対して $3(x - 2)^2 + 1 \ge 0$ が成立します。

3. 最終的な答え

すべての実数