$\sin \theta = \frac{1}{4}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。ただし、$90^\circ < \theta \le 180^\circ$ とする。答えは有理化すること。

1. 問題の内容

$\sin \theta = \frac{1}{4}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。ただし、$90^\circ < \theta \le 180^\circ$ とする。答えは有理化すること。

2. 解き方の手順

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ の公式を利用して $\cos \theta$ を求める。

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$

$\cos^2 \theta = 1 - (\frac{1}{4})^2$

$\cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{15}{16}} = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}$

$90^\circ < \theta \le 180^\circ$ より、$\cos \theta < 0$ なので、$\cos \theta = -\frac{\sqrt{15}}{4}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ の公式を利用して $\tan \theta$ を求める。

$\tan \theta = \frac{\frac{1}{4}}{-\frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{1}{4} \times \frac{4}{-\sqrt{15}} = -\frac{1}{\sqrt{15}}$

有理化して、

$\tan \theta = -\frac{1}{\sqrt{15}} \times \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}} = -\frac{\sqrt{15}}{15}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{15}}{4}$

$\tan \theta = -\frac{\sqrt{15}}{15}$