一辺の長さが $a$ である立方体の各面の中心を結んでできる正八面体について、以下の3つを求めます。 * 正八面体の1辺の長さ * 正八面体の体積 * 辺を共有する2つの面のなす角を $\theta$ としたときの $\cos \theta$ の値

1. 問題の内容

一辺の長さが $a$ である立方体の各面の中心を結んでできる正八面体について、以下の3つを求めます。

* 正八面体の1辺の長さ

* 正八面体の体積

* 辺を共有する2つの面のなす角を $\theta$ としたときの $\cos \theta$ の値

2. 解き方の手順

* 正八面体の1辺の長さ

立方体の各面の中心を結んでできる正八面体の1辺は、立方体の面の対角線の半分です。

したがって、正八面体の1辺の長さは $\frac{\sqrt{2}}{2}a$ となります。

* 正八面体の体積

正八面体は、2つの正四角錐を底面で貼り合わせたものと考えることができます。

正四角錐の底面は、正八面体の1辺を1辺とする正方形なので、面積は $(\frac{\sqrt{2}}{2}a)^2 = \frac{1}{2}a^2$ です。

また、正四角錐の高さは、立方体の1辺の半分なので、$\frac{a}{2}$ です。

したがって、正四角錐の体積は、$\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}a^2 \times \frac{a}{2} = \frac{1}{12}a^3$ です。

正八面体の体積は、正四角錐2つ分の体積なので、$\frac{1}{12}a^3 \times 2 = \frac{1}{6}a^3$ となります。

* $\cos \theta$ の値

正八面体の頂点に集まる4つの正三角形の面を考えます。

正八面体の中心から各頂点へのベクトルを考え、隣り合う2つの面がなす角を求めます。

正八面体の頂点の座標を$(\pm\frac{\sqrt{2}}{4}a, 0, 0), (0, \pm\frac{\sqrt{2}}{4}a, 0), (0, 0, \pm\frac{\sqrt{2}}{4}a)$とすると、例えば、頂点$(0, \frac{\sqrt{2}}{4}a, 0)$と$(0, 0, \frac{\sqrt{2}}{4}a)$を結ぶ辺を共有する2つの面の法線ベクトルはそれぞれ$(\frac{\sqrt{2}}{4}a, 0, \frac{\sqrt{2}}{4}a)$と$(\frac{\sqrt{2}}{4}a, \frac{\sqrt{2}}{4}a, 0)$の定数倍で表せるので、$(\frac{\sqrt{2}}{4}a, 0, \frac{\sqrt{2}}{4}a)$と$(\frac{\sqrt{2}}{4}a, \frac{\sqrt{2}}{4}a, 0)$とします。

このとき、

$\cos\theta = \frac{(\frac{\sqrt{2}}{4}a, 0, \frac{\sqrt{2}}{4}a) \cdot (\frac{\sqrt{2}}{4}a, \frac{\sqrt{2}}{4}a, 0)}{|(\frac{\sqrt{2}}{4}a, 0, \frac{\sqrt{2}}{4}a)||(\frac{\sqrt{2}}{4}a, \frac{\sqrt{2}}{4}a, 0)|} = \frac{\frac{1}{8}a^2}{\frac{\sqrt{2}}{4}a\frac{\sqrt{2}}{4}a} = \frac{1}{2}$

となるので、$\theta = \arccos(-\frac{1}{3})$。

したがって、$\cos \theta = -\frac{1}{3}$ となります。正八面体の隣り合う面がなす角の二面角は$109.47^{\circ}$なので、$\cos\theta = -\frac{1}{3}$となります。

3. 最終的な答え

* 正八面体の1辺の長さ: $\frac{\sqrt{2}}{2}a$

* 正八面体の体積: $\frac{1}{6}a^3$

* $\cos \theta = -\frac{1}{3}$