$\sin \theta = \frac{1}{4}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めなさい。ただし、$0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ であり、解答は有理化されたものである必要があります。

1. 問題の内容

$\sin \theta = \frac{1}{4}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めなさい。ただし、$0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ であり、解答は有理化されたものである必要があります。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の基本的な関係式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用して $\cos \theta$ を求めます。

$\sin \theta = \frac{1}{4}$ を代入すると、

$(\frac{1}{4})^2 + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{1}{16} + \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

$0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ のとき $\cos \theta \ge 0$ なので、

$\cos \theta = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を利用して $\tan \theta$ を求めます。

$\tan \theta = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{1}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{15}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = \frac{\sqrt{15}}{4}$

$\tan \theta = \frac{\sqrt{15}}{15}$