赤球4個、白球4個、黄球1個の合計9個の球がある。これらの球を円形に並べる方法の数と、これらの球を結んで首飾りを作る方法の数を求めよ。

1. 問題の内容

赤球4個、白球4個、黄球1個の合計9個の球がある。これらの球を円形に並べる方法の数と、これらの球を結んで首飾りを作る方法の数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円形に並べる方法の数

まず、9個の球を直線に並べる場合の数を考える。これは、同じものを含む順列の問題であり、

$\frac{9!}{4!4!1!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 9 \times 2 \times 7 \times 5 = 630$

通りとなる。

次に、円形に並べる場合は、回転して同じになるものを同一視する必要がある。

9個の球を円形に並べる場合、9通りの回転で同一視される可能性がある。ただし、今回は全ての球が同じではないため、9で割ることは単純にはできない。

円順列の考え方を使う。直線に並べたものを円形に並べると、ある並び方に対して、回転によって同じになる並び方が存在する。

9個の並び方630通りにおいて、すべての回転で同じ並び方は存在しない。

円順列では、一つの並びを固定して考える。例えば黄球を固定する。そうすると残りの8個の球(赤球4個, 白球4個)を並べることになる。

$\frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$

(2) 首飾りの作り方

首飾りを作る場合は、円順列に加えて、裏返すという操作によっても同じ並びになるものを同一視する。

つまり、円順列の場合の数を2で割る必要がある。ただし、割り切れない場合は注意が必要である。

今回の場合は、円順列の場合の数である70は偶数なので、単純に2で割ることができる。

$\frac{70}{2} = 35$

3. 最終的な答え

円形に並べる方法は70通り。

首飾りを作る方法は35通り。