40人の男子の体重 $x$ (kg) の度数分布表が与えられている。 $y = \frac{x-62}{4}$ と変換したとき、$\bar{y}$, $\bar{y^2}$, $y$ の分散 $S_y^2$, $x$ の分散 $S_x^2$ を求める問題である。

1. 問題の内容

40人の男子の体重 $x$ (kg) の度数分布表が与えられている。

$y = \frac{x-62}{4}$ と変換したとき、$\bar{y}$, $\bar{y^2}$, $y$ の分散 $S_y^2$, $x$ の分散 $S_x^2$ を求める問題である。

2. 解き方の手順

(1) まず、$\bar{y}$ と $\bar{y^2}$ を計算する。

$y$ の値と度数の対応は以下のようになる。

$x = 46 \Rightarrow y = \frac{46-62}{4} = -4$ (度数 3)

$x = 50 \Rightarrow y = \frac{50-62}{4} = -3$ (度数 4)

$x = 54 \Rightarrow y = \frac{54-62}{4} = -2$ (度数 5)

$x = 58 \Rightarrow y = \frac{58-62}{4} = -1$ (度数 5)

$x = 62 \Rightarrow y = \frac{62-62}{4} = 0$ (度数 6)

$x = 66 \Rightarrow y = \frac{66-62}{4} = 1$ (度数 6)

$x = 70 \Rightarrow y = \frac{70-62}{4} = 2$ (度数 5)

$x = 74 \Rightarrow y = \frac{74-62}{4} = 3$ (度数 4)

$x = 78 \Rightarrow y = \frac{78-62}{4} = 4$ (度数 1)

$x = 82 \Rightarrow y = \frac{82-62}{4} = 5$ (度数 1)

$\bar{y} = \frac{1}{40} \sum_{i=1}^{10} y_i f_i = \frac{1}{40} (3(-4) + 4(-3) + 5(-2) + 5(-1) + 6(0) + 6(1) + 5(2) + 4(3) + 1(4) + 1(5)) = \frac{1}{40} (-12 - 12 - 10 - 5 + 0 + 6 + 10 + 12 + 4 + 5) = \frac{-2}{40} = -0.05$

$y^2$ の値と度数の対応は以下のようになる。

$y = -4 \Rightarrow y^2 = 16$ (度数 3)

$y = -3 \Rightarrow y^2 = 9$ (度数 4)

$y = -2 \Rightarrow y^2 = 4$ (度数 5)

$y = -1 \Rightarrow y^2 = 1$ (度数 5)

$y = 0 \Rightarrow y^2 = 0$ (度数 6)

$y = 1 \Rightarrow y^2 = 1$ (度数 6)

$y = 2 \Rightarrow y^2 = 4$ (度数 5)

$y = 3 \Rightarrow y^2 = 9$ (度数 4)

$y = 4 \Rightarrow y^2 = 16$ (度数 1)

$y = 5 \Rightarrow y^2 = 25$ (度数 1)

$\overline{y^2} = \frac{1}{40} \sum_{i=1}^{10} y_i^2 f_i = \frac{1}{40} (3(16) + 4(9) + 5(4) + 5(1) + 6(0) + 6(1) + 5(4) + 4(9) + 1(16) + 1(25)) = \frac{1}{40} (48 + 36 + 20 + 5 + 0 + 6 + 20 + 36 + 16 + 25) = \frac{212}{40} = 5.3$

(2) $y$ の分散 $S_y^2$ を計算する。

$S_y^2 = \overline{y^2} - (\bar{y})^2 = 5.3 - (-0.05)^2 = 5.3 - 0.0025 = 5.2975 \approx 5.30$

(3) $x$ の分散 $S_x^2$ を計算する。

$y = \frac{x-62}{4}$ より、 $x = 4y + 62$。

$S_x^2 = 4^2 S_y^2 = 16 S_y^2 = 16(5.2975) = 84.76 \approx 84.8$

3. 最終的な答え

$\bar{y} = -0.05$

$\overline{y^2} = 5.30$

$S_y^2 = 5.30$

$S_x^2 = 84.8$

7: 0

8: 0

9: 5

10: 5

11: 3

12: 5

13: 3

14: 0

15: 0

16: 0

17: 8

18: 4

19: 7

20: 6