大小2つのサイコロを投げ、出た目をそれぞれ$a, b$とする。複素数$z$を$z=(\sqrt{3}+i)^a(1-i)^b$と定義する。 (1) $|z| \le 8$ となる確率を求める。 (2) $z$の実部と虚部が両方とも正である確率を求める。

1. 問題の内容

大小2つのサイコロを投げ、出た目をそれぞれ$a, b$とする。複素数$z$を$z=(\sqrt{3}+i)^a(1-i)^b$と定義する。

(1) $|z| \le 8$ となる確率を求める。

(2) $z$の実部と虚部が両方とも正である確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) $|z| \le 8$となる確率を求める。

まず、$|\sqrt{3}+i| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$

そして、$|1-i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$

したがって、

$|z| = |(\sqrt{3}+i)^a(1-i)^b| = |\sqrt{3}+i|^a|1-i|^b = 2^a(\sqrt{2})^b = 2^a 2^{\frac{b}{2}} = 2^{a + \frac{b}{2}}$

$|z| \le 8 = 2^3$ より、$2^{a + \frac{b}{2}} \le 2^3$

$a + \frac{b}{2} \le 3$

$2a + b \le 6$

サイコロの目は1から6なので、$1 \le a \le 6, 1 \le b \le 6$である。

$2a + b \le 6$を満たす組み合わせを考える。

$a=1$のとき、$b \le 4$なので、$b=1,2,3,4$の4通り

$a=2$のとき、$b \le 2$なので、$b=1,2$の2通り

$a=3$のとき、$b \le 0$なので、不適。

よって、$4+2 = 6$通り

サイコロの目の出方は$6 \times 6 = 36$通りなので、確率は$\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

(2) $z=(\sqrt{3}+i)^a(1-i)^b$の実部と虚部が両方とも正である確率を求める。

$\sqrt{3}+i = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i) = 2(\cos{\frac{\pi}{6}} + i\sin{\frac{\pi}{6}}) = 2e^{i\frac{\pi}{6}}$

$1-i = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}i) = \sqrt{2}(\cos{(-\frac{\pi}{4})} + i\sin{(-\frac{\pi}{4})}) = \sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}$

$z = (2e^{i\frac{\pi}{6}})^a (\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}})^b = 2^a (\sqrt{2})^b e^{i\frac{a\pi}{6}} e^{-i\frac{b\pi}{4}} = 2^a 2^{\frac{b}{2}} e^{i(\frac{a\pi}{6} - \frac{b\pi}{4})} = 2^{a+\frac{b}{2}} e^{i(\frac{2a-3b}{12}\pi)}$

$z = 2^{a+\frac{b}{2}} (\cos{(\frac{2a-3b}{12}\pi)} + i\sin{(\frac{2a-3b}{12}\pi)})$

$z$の実部と虚部が両方とも正であるためには、$\cos{(\frac{2a-3b}{12}\pi)} > 0$かつ$\sin{(\frac{2a-3b}{12}\pi)} > 0$が必要。

つまり、$0 < \frac{2a-3b}{12}\pi < \frac{\pi}{2}$

$0 < \frac{2a-3b}{12} < \frac{1}{2}$

$0 < 2a - 3b < 6$

$3b < 2a < 3b + 6$

$b < \frac{2}{3}a < b+2$

$a, b$は1から6までの整数なので、

$a=1$のとき、$b < \frac{2}{3} < b+2$。$\frac{2}{3} = 0.666...$なので、$b$は存在しない。

$a=2$のとき、$b < \frac{4}{3} < b+2$。$\frac{4}{3} = 1.333...$なので、$b=1$

$a=3$のとき、$b < 2 < b+2$。$b=1$

$a=4$のとき、$b < \frac{8}{3} < b+2$。$\frac{8}{3} = 2.666...$なので、$b=1,2$

$a=5$のとき、$b < \frac{10}{3} < b+2$。$\frac{10}{3} = 3.333...$なので、$b=2,3$

$a=6$のとき、$b < 4 < b+2$。$b=3$

求める場合の数は、$1+1+2+2+1=7$通り。確率は$\frac{7}{36}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{6}$

(2) $\frac{7}{36}$