大小2つのサイコロを投げ、出た目をそれぞれ $a, b$ とする。複素数 $z$ を $z=(\sqrt{3}+i)^a(1-i)^b$ と定める。このとき、以下の確率を求めよ。 (1) $|z| \le 8$ となる確率 (2) $z$ の実部と虚部が両方とも正である確率

1. 問題の内容

大小2つのサイコロを投げ、出た目をそれぞれ $a, b$ とする。複素数 $z$ を $z=(\sqrt{3}+i)^a(1-i)^b$ と定める。このとき、以下の確率を求めよ。

(1) $|z| \le 8$ となる確率

(2) $z$ の実部と虚部が両方とも正である確率

2. 解き方の手順

(1)

まず、$z$ の絶対値を計算する。

$|z| = |(\sqrt{3}+i)^a(1-i)^b| = |\sqrt{3}+i|^a |1-i|^b$

$|\sqrt{3}+i| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$

$|1-i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$

よって、

$|z| = 2^a (\sqrt{2})^b = 2^a 2^{\frac{b}{2}} = 2^{a+\frac{b}{2}}$

$|z| \le 8$ より、$2^{a+\frac{b}{2}} \le 8 = 2^3$

したがって、$a+\frac{b}{2} \le 3$

$2a+b \le 6$

$a, b$ はサイコロの目なので、$1 \le a \le 6$, $1 \le b \le 6$ を満たす。

$2a+b \le 6$ を満たす $(a, b)$ の組み合わせを求める。

$a=1$ のとき、$2(1)+b \le 6$ より $b \le 4$。$(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4)$ の4通り

$a=2$ のとき、$2(2)+b \le 6$ より $b \le 2$。$(2, 1), (2, 2)$ の2通り

$a=3$ のとき、$2(3)+b \le 6$ より $b \le 0$。これは不適。

したがって、条件を満たす $(a, b)$ の組み合わせは $4+2 = 6$ 通り。

サイコロの目の出方は $6 \times 6 = 36$ 通りなので、確率は $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

(2)

$z=(\sqrt{3}+i)^a(1-i)^b$ について、実部と虚部が共に正となる確率を求める。

$\sqrt{3} + i = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i) = 2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}) = 2e^{i\frac{\pi}{6}}$

$1-i = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}i) = \sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4})) = \sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}$

$z = (2e^{i\frac{\pi}{6}})^a(\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}})^b = 2^a (\sqrt{2})^b e^{i(\frac{a\pi}{6} - \frac{b\pi}{4})} = 2^a (\sqrt{2})^b e^{i\pi(\frac{a}{6}-\frac{b}{4})} = 2^a(\sqrt{2})^b (\cos(\pi(\frac{a}{6}-\frac{b}{4}))+i\sin(\pi(\frac{a}{6}-\frac{b}{4})))$

$z$ の実部が正である条件は $\cos(\pi(\frac{a}{6}-\frac{b}{4})) > 0$、虚部が正である条件は $\sin(\pi(\frac{a}{6}-\frac{b}{4})) > 0$。

よって、$\pi(\frac{a}{6}-\frac{b}{4})$ が第一象限にある必要がある。すなわち、$0 < \pi(\frac{a}{6}-\frac{b}{4}) < \frac{\pi}{2}$

$0 < \frac{a}{6}-\frac{b}{4} < \frac{1}{2}$

$0 < 2a-3b < 3$

$3b < 2a < 3b+3$

$a, b$ は $1 \le a \le 6$, $1 \le b \le 6$ を満たす。

$b=1$ のとき、$3 < 2a < 6$ より $1.5 < a < 3$ なので、$a=2$。$(2, 1)$

$b=2$ のとき、$6 < 2a < 9$ より $3 < a < 4.5$ なので、$a=4$。$(4, 2)$

$b=3$ のとき、$9 < 2a < 12$ より $4.5 < a < 6$ なので、$a=5$。$(5, 3)$

$b=4$ のとき、$12 < 2a < 15$ より $6 < a < 7.5$ なので、$a=7$。これは不適。

$b=5$ のとき、$15 < 2a < 18$ より $7.5 < a < 9$ なので、$a=8$。これは不適。

$b=6$ のとき、$18 < 2a < 21$ より $9 < a < 10.5$ なので、$a=10$。これは不適。

条件を満たす $(a, b)$ の組み合わせは $(2, 1), (4, 2), (5, 3)$ の3通り。

確率は $\frac{3}{36} = \frac{1}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{6}$

(2) $\frac{1}{12}$