袋の中に赤球2個、白球1個、青球1個が入っている。この袋の中から球を1個ずつ3回続けて取り出し、取り出した順に1列に並べる。以下の確率を求めよ。 (1) 2個の赤球を区別するとき、起こりうる場合の総数。 (2) 異なる3色の球が並ぶ確率。 (3) 同じ色の球が隣り合わない確率。

1. 問題の内容

袋の中に赤球2個、白球1個、青球1個が入っている。この袋の中から球を1個ずつ3回続けて取り出し、取り出した順に1列に並べる。以下の確率を求めよ。

(1) 2個の赤球を区別するとき、起こりうる場合の総数。

(2) 異なる3色の球が並ぶ確率。

(3) 同じ色の球が隣り合わない確率。

2. 解き方の手順

(1) 起こりうる場合の総数を求める。

1回目に4つの球から1つ選ぶ。

2回目に残りの3つの球から1つ選ぶ。

3回目に残りの2つの球から1つ選ぶ。

したがって、起こりうる場合の総数は $4 \times 3 \times 2 = 24$ 通り。ただし、2個の赤球を区別するので、区別しない場合は $24/2=12$ となる。

問題文より2個の赤球を区別するので、起こりうる場合は全部で24通りである。しかし、写真に書かれているように12通りと解答することもできる。

(2) 異なる3色の球が並ぶ確率を求める。

異なる3色が並ぶのは、赤、白、青の3種類が全て選ばれる場合である。

まず、3色を選ぶ順番は3! = $3 \times 2 \times 1 = 6$通り。

赤球を区別しないときは赤を一つにすると2つになるので同じ色の球が隣り合わない確率は$1/2$となる。

(3) 同じ色の球が隣り合わない確率を求める。

全事象は、24通り。

同じ色の球が隣り合わないのは、

白-赤-青

青-赤-白

の場合とそれらの並び順を逆にした場合がある。

赤球を区別すると、$2 \times 2 = 4$通り。

したがって、確率は $4/24 = 1/6$

赤球を区別しないと、$2/12 = 1/6$

3. 最終的な答え

(1) 24通り (赤球を区別する場合)、12通り(赤球を区別しない場合)

(2) 1/2 (赤球を区別しない場合)

(3) 1/6