三角形ABCにおいて、$a = \sqrt{3}$、$b = \sqrt{21}$、$c = 2\sqrt{3}$ のとき、$\angle B$ の値を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a = \sqrt{3}$、$b = \sqrt{21}$、$c = 2\sqrt{3}$ のとき、$\angle B$ の値を求める。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて $\cos B$ を求める。余弦定理は、

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$

である。これを $\cos B$ について解くと、

$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$

となる。

ここに、$a = \sqrt{3}$、$b = \sqrt{21}$、$c = 2\sqrt{3}$ を代入する。

$\cos B = \frac{(\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{21})^2}{2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3}}$

$\cos B = \frac{3 + 12 - 21}{12}$

$\cos B = \frac{-6}{12}$

$\cos B = -\frac{1}{2}$

$\cos B = -\frac{1}{2}$ となる $B$ の値を求める。$0^\circ < B < 180^\circ$ の範囲で、$B = 120^\circ$ が解となる。

3. 最終的な答え

$120^\circ$