三角形ABCにおいて、$a=4$, $b=2\sqrt{2}$, $c=2\sqrt{2}$ が与えられているとき、角Cの大きさを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=4$, $b=2\sqrt{2}$, $c=2\sqrt{2}$ が与えられているとき、角Cの大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いる。角Cに対する余弦定理は、

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{C}$

である。

この式に与えられた値を代入して、$\cos{C}$を求める。

$(2\sqrt{2})^2 = 4^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 4 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \cos{C}$

$8 = 16 + 8 - 16\sqrt{2}\cos{C}$

$8 = 24 - 16\sqrt{2}\cos{C}$

$16\sqrt{2}\cos{C} = 16$

$\cos{C} = \frac{16}{16\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos{C} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ を満たす角Cは、 $C=45^\circ$ である。

3. 最終的な答え

45°