与えられた三角形において、辺 $a=2$, 辺 $c=2\sqrt{2}$, 角 $B=45^\circ$ のとき、辺 $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた三角形において、辺 $a=2$, 辺 $c=2\sqrt{2}$, 角 $B=45^\circ$ のとき、辺 $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いる。余弦定理は、三角形の任意の角 $B$ とその対辺 $b$、他の二辺 $a$ と $c$ について、以下の関係が成り立つ。

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$

与えられた値を代入して、$b^2$ を計算する。

$b^2 = 2^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{2} \cos 45^\circ$

$b^2 = 4 + 8 - 8\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$b^2 = 12 - 8\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$b^2 = 12 - 8 \cdot \frac{2}{2}$

$b^2 = 12 - 8$

$b^2 = 4$

$b$ は辺の長さなので、$b>0$。したがって、$b = \sqrt{4} = 2$

3. 最終的な答え

$b = 2$