与えられた関数 $y = \frac{1}{\tan(3x)}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{1}{\tan(3x)}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を $y = (\tan(3x))^{-1}$ と書き換えます。

次に、合成関数の微分法（チェインルール）を適用します。

チェインルールは、$y = f(g(x))$ のとき、$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ で表されます。

$f(u) = u^{-1}$ と $g(x) = \tan(3x)$ とすると、$y = f(g(x))$ です。

$f'(u) = -u^{-2}$

$g'(x) = \frac{d}{dx} \tan(3x) = \sec^2(3x) \cdot \frac{d}{dx} (3x) = 3\sec^2(3x)$

したがって、

$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = -(\tan(3x))^{-2} \cdot 3\sec^2(3x) = -\frac{3\sec^2(3x)}{\tan^2(3x)}$

ここで、$\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}$ と $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ を用いて式を整理します。

$y' = -\frac{3\frac{1}{\cos^2(3x)}}{\frac{\sin^2(3x)}{\cos^2(3x)}} = -\frac{3}{\cos^2(3x)} \cdot \frac{\cos^2(3x)}{\sin^2(3x)} = -\frac{3}{\sin^2(3x)} = -3\csc^2(3x)$

3. 最終的な答え

$y' = -3\csc^2(3x)$