与えられた関数 $y = \frac{\cos x}{1 - \sin x}$ の微分を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{\cos x}{1 - \sin x}$ の微分を求める問題です。

2. 解き方の手順

商の微分公式を使用します。

商の微分公式は、関数 $y = \frac{u(x)}{v(x)}$ の微分が次のようになるというものです。

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\frac{dy}{dx} = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}

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この問題では、$u(x) = \cos x$、$v(x) = 1 - \sin x$ です。

それぞれの微分を求めます。

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u'(x) = \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x

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v'(x) = \frac{d}{dx}(1 - \sin x) = -\cos x

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これらの結果を商の微分公式に代入します。

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\frac{dy}{dx} = \frac{(-\sin x)(1 - \sin x) - (\cos x)(-\cos x)}{(1 - \sin x)^2}

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分子を展開して整理します。

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\frac{dy}{dx} = \frac{-\sin x + \sin^2 x + \cos^2 x}{(1 - \sin x)^2}

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三角関数の恒等式 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ を用いてさらに整理します。

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\frac{dy}{dx} = \frac{-\sin x + 1}{(1 - \sin x)^2}

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\frac{dy}{dx} = \frac{1 - \sin x}{(1 - \sin x)^2}

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最後に、分子と分母を $1 - \sin x$ で約分します。ただし、$\sin x \neq 1$ とします。

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\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 - \sin x}

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3. 最終的な答え

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\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 - \sin x}

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