与えられた不定積分 $\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}} dx$ を計算する問題です。画像には、この積分の解法が途中まで記述されています。

1. 問題の内容

与えられた不定積分 $\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}} dx$ を計算する問題です。画像には、この積分の解法が途中まで記述されています。

2. 解き方の手順

画像に示された手順に従って計算を進めます。

まず、部分積分を行います。$x^2$ を $\sqrt{x^2+1}$ の微分に関連付けます。

$\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}} dx = \int x (\sqrt{x^2 + 1})' dx$

部分積分の公式 $\int u v' dx = uv - \int u' v dx$ を適用します。ここで、$u = x$, $v' = (\sqrt{x^2+1})'$ とすると、$u' = 1$, $v = \sqrt{x^2+1}$ なので、

$\int x (\sqrt{x^2 + 1})' dx = x\sqrt{x^2 + 1} - \int \sqrt{x^2 + 1} dx$

次に、$\int \sqrt{x^2 + 1} dx$ を計算します。これは標準的な積分で、

$\int \sqrt{x^2 + 1} dx = \frac{1}{2} (x\sqrt{x^2+1} + \log |x + \sqrt{x^2 + 1}|) + C$

となります。

したがって、

$\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}} dx = x\sqrt{x^2 + 1} - \frac{1}{2} (x\sqrt{x^2+1} + \log |x + \sqrt{x^2 + 1}|) + C$

$= x\sqrt{x^2 + 1} - \frac{1}{2}x\sqrt{x^2+1} - \frac{1}{2}\log |x + \sqrt{x^2 + 1}| + C$

$= \frac{1}{2}x\sqrt{x^2 + 1} - \frac{1}{2}\log |x + \sqrt{x^2 + 1}| + C$

$= \frac{1}{2} (x\sqrt{x^2 + 1} - \log |x + \sqrt{x^2 + 1}|) + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} (x\sqrt{x^2 + 1} - \log |x + \sqrt{x^2 + 1}|) + C$