与えられた関数 $y = \frac{\cos x}{1 - \sin x}$ の微分 $y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{\cos x}{1 - \sin x}$ の微分 $y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

商の微分公式を使用します。

商の微分公式は、関数 $y = \frac{u(x)}{v(x)}$ の微分が $y' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$ で与えられるというものです。

この問題では、$u(x) = \cos x$、 $v(x) = 1 - \sin x$ となります。

まず、$u(x)$ と $v(x)$ の微分を計算します。

$u'(x) = (\cos x)' = -\sin x$

$v'(x) = (1 - \sin x)' = -\cos x$

次に、商の微分公式にこれらを代入します。

$y' = \frac{(-\sin x)(1 - \sin x) - (\cos x)(-\cos x)}{(1 - \sin x)^2}$

$y' = \frac{-\sin x + \sin^2 x + \cos^2 x}{(1 - \sin x)^2}$

三角関数の恒等式 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ を用いて、式を簡略化します。

$y' = \frac{-\sin x + 1}{(1 - \sin x)^2}$

$y' = \frac{1 - \sin x}{(1 - \sin x)^2}$

最後に、分子と分母で $(1 - \sin x)$ を約分します。

$y' = \frac{1}{1 - \sin x}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{1}{1 - \sin x}$