与えられた陰関数 $x^3 + 5x + y^2 + 5y + 3 = 0$ について、$\frac{dy}{dx}$ を求め、空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

与えられた陰関数 $x^3 + 5x + y^2 + 5y + 3 = 0$ について、$\frac{dy}{dx}$ を求め、空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式 $x^3 + 5x + y^2 + 5y + 3 = 0$ の両辺を $x$ で微分します。

$x^3$ の微分は $3x^2$ です。

$5x$ の微分は $5$ です。

$y^2$ の微分は $2y \frac{dy}{dx}$ です。（連鎖律を使用）

$5y$ の微分は $5 \frac{dy}{dx}$ です。（連鎖律を使用）

$3$ の微分は $0$ です。

したがって、微分した式は次のようになります。

$3x^2 + 5 + 2y \frac{dy}{dx} + 5 \frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx}$ について解くために、$\frac{dy}{dx}$ を含む項をまとめます。

$(2y + 5) \frac{dy}{dx} = -3x^2 - 5$

$\frac{dy}{dx}$ は次のように表されます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{-3x^2 - 5}{2y + 5}$

よって、

$3x^2 + 5 + (2y+5)\frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3x^2 + 5}{2y+5}$

したがって、空欄を埋めると次のようになります。

1: 3

2: 5

3: 2

4: 5

5: 3

6: 5

7: 2

8: 5

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3x^2 + 5}{2y + 5}$