媒介変数 $\theta$ を用いて、$x=3\sin(2\theta)+1$ および $y=5(\cos(2\theta)+3)$ と表されるとき、導関数 $\frac{dy}{dx}$ を $\theta$ の関数として表せ。ただし、$\cos(2\theta) \neq 0$ とする。

1. 問題の内容

媒介変数 $\theta$ を用いて、$x=3\sin(2\theta)+1$ および $y=5(\cos(2\theta)+3)$ と表されるとき、導関数 $\frac{dy}{dx}$ を $\theta$ の関数として表せ。ただし、$\cos(2\theta) \neq 0$ とする。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ をそれぞれ $\theta$ で微分します。

$\frac{dx}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(3\sin(2\theta)+1) = 3 \cdot \cos(2\theta) \cdot 2 = 6\cos(2\theta)$

$\frac{dy}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(5(\cos(2\theta)+3)) = 5 \cdot (-\sin(2\theta)) \cdot 2 = -10\sin(2\theta)$

次に、$\frac{dy}{dx}$ を $\frac{dy}{d\theta}$ と $\frac{dx}{d\theta}$ を用いて表します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{-10\sin(2\theta)}{6\cos(2\theta)}$

最後に、$\frac{dy}{dx}$ を簡略化します。

$\frac{dy}{dx} = -\frac{10}{6} \cdot \frac{\sin(2\theta)}{\cos(2\theta)} = -\frac{5}{3}\tan(2\theta)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{5}{3}\tan(2\theta)$