関数 $y = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ を微分した $y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ を微分した $y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

商の微分公式 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

まず、$u = e^x - e^{-x}$ と $v = e^x + e^{-x}$ とおきます。

$u' = (e^x - e^{-x})' = e^x - (-1)e^{-x} = e^x + e^{-x}$

$v' = (e^x + e^{-x})' = e^x + (-1)e^{-x} = e^x - e^{-x}$

したがって、

$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{(e^x + e^{-x})(e^x + e^{-x}) - (e^x - e^{-x})(e^x - e^{-x})}{(e^x + e^{-x})^2}$

$= \frac{(e^x + e^{-x})^2 - (e^x - e^{-x})^2}{(e^x + e^{-x})^2}$

$= \frac{(e^{2x} + 2e^x e^{-x} + e^{-2x}) - (e^{2x} - 2e^x e^{-x} + e^{-2x})}{(e^x + e^{-x})^2}$

$= \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x} - e^{2x} + 2 - e^{-2x}}{(e^x + e^{-x})^2}$

$= \frac{4}{(e^x + e^{-x})^2}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{4}{(e^x + e^{-x})^2}$