関数 $y = (x \log x - x)^2$ を微分し、$y'$ を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数とする。

1. 問題の内容

関数 $y = (x \log x - x)^2$ を微分し、$y'$ を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数とする。

2. 解き方の手順

まず、合成関数の微分法を用いる。$u = x \log x - x$ とおくと、$y = u^2$ である。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

である。

まず、$\frac{dy}{du}$ を計算する。

$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du} (u^2) = 2u = 2(x \log x - x)$

次に、$\frac{du}{dx}$ を計算する。$u = x \log x - x$ を $x$ で微分すると、積の微分法を用いる。

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (x \log x - x) = \frac{d}{dx} (x \log x) - \frac{d}{dx} (x)$

$\frac{d}{dx} (x \log x) = (\frac{d}{dx} x) \log x + x (\frac{d}{dx} \log x) = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

$\frac{d}{dx} (x) = 1$

したがって、

$\frac{du}{dx} = (\log x + 1) - 1 = \log x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 2(x \log x - x) \cdot \log x$

3. 最終的な答え

$y' = 2(x \log x - x) \log x$

これは選択肢の2番と一致する。