20人の生徒の中から4人の代表を選ぶとき、X君とY君がともに選ばれないような選び方は何通りあるかを求める問題です。

1. 問題の内容

20人の生徒の中から4人の代表を選ぶとき、X君とY君がともに選ばれないような選び方は何通りあるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、4人の代表を選ぶすべての組み合わせを計算します。これは20人から4人を選ぶ組み合わせなので、$_{20}C_4$ で計算できます。

$_{20}C_4 = \frac{20!}{4!(20-4)!} = \frac{20!}{4!16!} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 5 \times 19 \times 3 \times 17 = 4845$

次に、X君とY君がともに選ばれる場合の数を計算します。X君とY君がすでに選ばれているので、残りの18人から2人を選ぶことになります。これは$_{18}C_2$ で計算できます。

$_{18}C_2 = \frac{18!}{2!(18-2)!} = \frac{18!}{2!16!} = \frac{18 \times 17}{2 \times 1} = 9 \times 17 = 153$

最後に、X君とY君がともに選ばれない組み合わせを求めるために、全体の組み合わせからX君とY君がともに選ばれる組み合わせを引きます。

しかし問題文はX君とY君がともに選ばれない組み合わせの数を問うているため、

X君とY君がどちらも選ばれない場合、つまり18人から4人を選ぶ組み合わせを求めます。これは $_{18}C_4$ で計算できます。

$_{18}C_4 = \frac{18!}{4!(18-4)!} = \frac{18!}{4!14!} = \frac{18 \times 17 \times 16 \times 15}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{18 \times 17 \times 2 \times 15}{3 \times 2} = 3 \times 17 \times 2 \times 15 \times 1/3 = 3060$.

したがって、求める組み合わせの数は3060通りです。

3. 最終的な答え

3060通り