与えられた2次関数 $y = 2x^2 + 4x + 3$ について、$0 \le x \le 1$ の範囲における最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = 2x^2 + 4x + 3$ について、$0 \le x \le 1$ の範囲における最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = 2x^2 + 4x + 3 = 2(x^2 + 2x) + 3 = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) + 3 = 2((x+1)^2 - 1) + 3 = 2(x+1)^2 - 2 + 3 = 2(x+1)^2 + 1$

この式から、頂点の座標は $(-1, 1)$ であることがわかる。軸は $x = -1$ である。

次に、定義域 $0 \le x \le 1$ における関数の値を調べる。

$x=0$ のとき、$y = 2(0)^2 + 4(0) + 3 = 3$

$x=1$ のとき、$y = 2(1)^2 + 4(1) + 3 = 2 + 4 + 3 = 9$

頂点のx座標である-1は、$0 \le x \le 1$ の範囲に含まれていないので、頂点のy座標は最小値候補にならない。

$x=0$のとき、$y=3$。

$x=1$のとき、$y=9$。

したがって、$0 \le x \le 1$ の範囲において、最小値は $x=0$ のときの $y=3$、最大値は $x=1$ のときの $y=9$ となる。

3. 最終的な答え

最小値：3 (x=0のとき)

最大値：9 (x=1のとき)