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関数 $y = -(x-2)^2 - 1$ の $0 < x < 4$ の範囲における最大値と最小値を求めよ。値が存在しない場合は「なし」と答える。

代数学二次関数最大値最小値定義域放物線
2025/4/8

1. 問題の内容

関数 y=−(x−2)2−1y = -(x-2)^2 - 1 の 0<x<40 < x < 4 の範囲における最大値と最小値を求めよ。値が存在しない場合は「なし」と答える。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数のグラフがどのような形であるかを考えます。y=−(x−2)2−1y = -(x-2)^2 - 1 は、上に凸の放物線であり、頂点は (2,−1)(2, -1) です。
次に、定義域 0<x<40 < x < 4 における関数の値を調べます。
x=2x=2 は定義域に含まれているので、x=2x=2 で最大値を取ります。
x=0x=0 のとき、y=−(0−2)2−1=−4−1=−5y = -(0-2)^2 - 1 = -4 - 1 = -5
x=4x=4 のとき、y=−(4−2)2−1=−4−1=−5y = -(4-2)^2 - 1 = -4 - 1 = -5
x=0x=0 と x=4x=4 は定義域に含まれませんが、これらに限りなく近い値を取るとき、yy は −5-5 に限りなく近づきます。
したがって、0<x<40 < x < 4 の範囲において、最大値は x=2x=2 のとき −1-1 です。最小値は存在しません。なぜなら、xx が 00 または 44 に限りなく近づくときに yy が −5-5 に限りなく近づきますが、y=−5y = -5 になる xx は定義域に含まれないからです。

3. 最終的な答え

最大値：-1 (x = 2 のとき)
最小値：なし (x = なし のとき)

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