関数 $y = -x^2 + 4x + 1$ の $-3 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 + 4x + 1$ の $-3 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 4x + 1 = -(x^2 - 4x) + 1 = -(x^2 - 4x + 4 - 4) + 1 = -(x - 2)^2 + 4 + 1 = -(x - 2)^2 + 5$

したがって、この2次関数の頂点は $(2, 5)$ であり、上に凸な放物線です。

次に、定義域 $-3 \le x \le 3$ における関数の値を調べます。

頂点の$x$座標$x = 2$は定義域に含まれているので、$x = 2$で最大値をとる可能性があります。

$x = 2$のとき、$y = -(2 - 2)^2 + 5 = 5$

定義域の端点における関数の値を計算します。

$x = -3$のとき、$y = -(-3)^2 + 4(-3) + 1 = -9 - 12 + 1 = -20$

$x = 3$のとき、$y = -(3)^2 + 4(3) + 1 = -9 + 12 + 1 = 4$

定義域 $-3 \le x \le 3$ における関数のグラフを考えると、頂点で最大値を取り、$x = -3$で最小値を取ることがわかります。

したがって、最大値は $5$ ($x = 2$のとき) であり、最小値は $-20$ ($x = -3$のとき) です。

3. 最終的な答え

最大値: 5 ($x = 2$ のとき)

最小値: -20 ($x = -3$ のとき)