2つの放物線 $y = 2x^2 - 6x + 4$ と $y = -3x^2 + 9x - 6$ で囲まれた図形の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの放物線 $y = 2x^2 - 6x + 4$ と $y = -3x^2 + 9x - 6$ で囲まれた図形の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 2つの放物線の交点の $x$ 座標を求めます。2つの式を連立させて解きます。

$2x^2 - 6x + 4 = -3x^2 + 9x - 6$

$5x^2 - 15x + 10 = 0$

$x^2 - 3x + 2 = 0$

$(x - 1)(x - 2) = 0$

よって、$x = 1, 2$ が交点の $x$ 座標です。

(2) $x = 1$ から $x = 2$ の区間において、どちらの関数が大きいかを調べます。

$f(x) = -3x^2 + 9x - 6 - (2x^2 - 6x + 4) = -5x^2 + 15x - 10 = -5(x^2 - 3x + 2) = -5(x-1)(x-2)$.

$1 < x < 2$ のとき、$(x-1) > 0$ かつ $(x-2) < 0$ なので、 $f(x) > 0$ となります。

したがって、区間 $[1, 2]$ では、$y = -3x^2 + 9x - 6$ の方が $y = 2x^2 - 6x + 4$ よりも上にあります。

(3) 面積を計算します。

$S = \int_1^2 (-3x^2 + 9x - 6 - (2x^2 - 6x + 4)) \, dx$

$S = \int_1^2 (-5x^2 + 15x - 10) \, dx$

$S = \left[ -\frac{5}{3}x^3 + \frac{15}{2}x^2 - 10x \right]_1^2$

$S = \left( -\frac{5}{3}(2^3) + \frac{15}{2}(2^2) - 10(2) \right) - \left( -\frac{5}{3}(1^3) + \frac{15}{2}(1^2) - 10(1) \right)$

$S = \left( -\frac{40}{3} + 30 - 20 \right) - \left( -\frac{5}{3} + \frac{15}{2} - 10 \right)$

$S = -\frac{40}{3} + 10 + \frac{5}{3} - \frac{15}{2} + 10$

$S = -\frac{35}{3} - \frac{15}{2} + 20$

$S = \frac{-70 - 45 + 120}{6}$

$S = \frac{5}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{6}$