袋の中に赤玉2個、白玉3個、青玉5個が入っている。この袋から3個の玉を同時に取り出すとき、少なくとも1個が白玉である確率を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉2個、白玉3個、青玉5個が入っている。この袋から3個の玉を同時に取り出すとき、少なくとも1個が白玉である確率を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、3個の玉の取り出し方の総数を計算します。

これは、10個の玉から3個を選ぶ組み合わせの数なので、$_{10}C_3$ となります。

$_{10}C_3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$

次に、3個の玉の中に白玉が1個も含まれない確率を計算します。

これは、赤玉2個と青玉5個の合計7個の玉から3個を選ぶ組み合わせの数なので、$_{7}C_3$ となります。

$_{7}C_3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 5 = 35$

したがって、3個の玉の中に白玉が1個も含まれない確率は、$\frac{_{7}C_3}{_{10}C_3} = \frac{35}{120} = \frac{7}{24}$ です。

少なくとも1個が白玉である確率は、1から白玉が1個も含まれない確率を引いたものです。

$1 - \frac{7}{24} = \frac{24}{24} - \frac{7}{24} = \frac{17}{24}$

3. 最終的な答え

$\frac{17}{24}$