三角形ABCにおいて、辺aの長さが$\sqrt{2}$、辺bの長さが1、角Aの大きさが45°であるとき、角Bの大きさを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺aの長さが$\sqrt{2}$、辺bの長さが1、角Aの大きさが45°であるとき、角Bの大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

正弦定理を用いて、角Bを求めます。正弦定理は、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

です。問題で与えられている値を代入すると、

$\frac{\sqrt{2}}{\sin 45^{\circ}} = \frac{1}{\sin B}$

$\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$なので、

$\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{1}{\sin B}$

$2 = \frac{1}{\sin B}$

$\sin B = \frac{1}{2}$

$\sin B = \frac{1}{2}$を満たす角Bは、$30^{\circ}$と$150^{\circ}$です。

三角形の内角の和は180°なので、

$A + B + C = 180^{\circ}$

$45^{\circ} + B < 180^{\circ}$

$B < 135^{\circ}$

したがって、$B = 150^{\circ}$は条件を満たさないので、$B = 30^{\circ}$となります。

3. 最終的な答え

$B = 30^{\circ}$