数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = -1$ および漸化式 $a_{n+1} = 2a_n - 3^n$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) で定義されるとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = -1$ および漸化式 $a_{n+1} = 2a_n - 3^n$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) で定義されるとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、漸化式を $3^{n+1}$ で割ると、

$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{2a_n}{3^{n+1}} - \frac{3^n}{3^{n+1}}$

$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{a_n}{3^n} - \frac{1}{3}$

ここで、$b_n = \frac{a_n}{3^n}$ とおくと、

$b_{n+1} = \frac{2}{3}b_n - \frac{1}{3}$

この漸化式を変形すると、

$b_{n+1} - (-1) = \frac{2}{3}(b_n - (-1))$

$b_{n+1} + 1 = \frac{2}{3}(b_n + 1)$

これは、数列 $\{b_n + 1\}$ が公比 $\frac{2}{3}$ の等比数列であることを示しています。初項は $b_1 + 1 = \frac{a_1}{3^1} + 1 = \frac{-1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$ です。

したがって、

$b_n + 1 = \left(\frac{2}{3}\right) \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} = \left(\frac{2}{3}\right)^n$

$b_n = \left(\frac{2}{3}\right)^n - 1$

$b_n = \frac{a_n}{3^n}$ より、

$a_n = 3^n b_n = 3^n \left( \left(\frac{2}{3}\right)^n - 1 \right) = 2^n - 3^n$

3. 最終的な答え

$a_n = 2^n - 3^n$